Wat zijn binaire getallen?
Binair is een telsysteem met alleen 0 en 1. Een bit is één 0 of 1. 8 bits vormen een byte (ook: octet). Computers gebruiken binair omdat hun schakelingen maar twee toestanden hebben: uit (0) of aan (1).
Waarom binair?
Twee duidelijke spanningsniveaus (laag/hoog) zijn betrouwbaar in elektronica. Alles—tekst, afbeeldingen, audio, netwerkverkeer—wordt intern als reeksen 0’en en 1’en opgeslagen en verwerkt.
De basis: plaatswaarden (machten van 2)
In decimaal zijn plaatswaarden 1000, 100, 10, 1 (machten van 10). In binair zijn dat machten van 2.
| Bitpositie (LSB=0) | Macht van 2 | Decimale waarde |
|---|---|---|
| 0 | 2^0 | 1 |
| 1 | 2^1 | 2 |
| 2 | 2^2 | 4 |
| 3 | 2^3 | 8 |
| 4 | 2^4 | 16 |
| 5 | 2^5 | 32 |
| 6 | 2^6 | 64 |
| 7 | 2^7 | 128 |
Tip: Handig “afstreeplijstje” voor 8 bits: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.
Omzetten binair → decimaal
Tel de waarden op waar een 1 staat.
Voorbeeld: 1101₂ = 1·2^3 + 1·2^2 + 0·2^1 + 1·2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀.
Groter voorbeeld: 11001010₂ = 1·128 + 1·64 + 0·32 + 0·16 + 1·8 + 0·4 + 1·2 + 0·1 = 202₁₀.
Omzetten decimaal → binair
Methode A (delen door 2): noteer de resten en lees van onder naar boven.
| Stap | Deel door 2 | Quotiënt | Rest |
|---|---|---|---|
| 1 | 19 / 2 | 9 | 1 |
| 2 | 9 / 2 | 4 | 1 |
| 3 | 4 / 2 | 2 | 0 |
| 4 | 2 / 2 | 1 | 0 |
| 5 | 1 / 2 | 0 | 1 |
Resten van onder naar boven → 10011₂ (dus 19₁₀ = 10011₂).
Methode B (afstreeplijstje): kijk welke waarden in je getal passen (128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1) en schrijf 1 of 0 per plek.
Bits, bytes & bereik
- 1 bit → 2 waarden (0–1)
- 8 bits (1 byte) → 2^8 = 256 waarden (0–255)
- 16 bits → 2^16 = 65.536 waarden (0–65.535)
Binaire rekenkunde
Optellen
Voorbeeld: 101₂ + 110₂ = 1011₂ (11₁₀).
Uitleg: 1+0=1; 0+1=1; 1+1=10 (0 schrijven, 1 meenemen).
Aftrekken
Zonder lenen: 1101₂ − 0101₂ = 1000₂ (13−5=8).
Met lenen: 1000₂ − 0001₂ = 0111₂ (8−1=7).
Vermenigvuldigen
Voorbeeld: 101₂ × 11₂ = 1111₂ (5×3=15).
Uitleg: 101×1 = 101; 101×1 (één plek naar links) = 1010; 101 + 1010 = 1111.
Delen
Voorbeeld: 1010₂ ÷ 10₂ = 101₂ (10÷2=5).
Logische (bitwise) operaties
- AND: 1 als beide bits 1 zijn
- OR: 1 als minstens één bit 1 is
- XOR: 1 als precies één van de twee bits 1 is
- NOT: keert één bit om (0 ↔ 1)
Voorbeeld met 4 bits (A=1011, B=1101):
A AND B = 1001 | A OR B = 1111 | A XOR B = 0110 | NOT A = 0100
Handige snelkoppelingen
Shifts (verschuiven): links « 1 = ×2, rechts » 1 = ÷2 (naar beneden afgerond). Voorbeeld: 00101100₂ (44) « 1 → 01011000₂ (88).
Hexadecimaal (hex): elke groep van 4 bits (nibble) is één hex-cijfer. 1100 1010₂ → 0xCA.
Two’s complement (negatief): +5 (00000101) → bits inverteren (11111010) → +1 = 11111011 = −5.
Praktische toepassingen
- Computers: alle data (tekst, pixels, audio) is binair opgeslagen.
- Netwerken: adressen en maskers (bijv. IPv4-subnetten) zijn direct uit bits af te leiden.
- Digitale elektronica: logische poorten (AND/OR/XOR/NOT) vormen de basis van schakelingen.
IPv4-voorbeeld: 192.168.1.1 → 192 = 11000000, 168 = 10101000, 1 = 00000001, 1 = 00000001 (elk octet altijd aanvullen tot 8 bits).
Mini-cheatsheet (powers of two)
2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128, 2^8=256, 2^10=1024, 2^16=65.536